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Damit sind sie nicht äquivalent. Gleichungen lösen durch Äquivalenzumformungen im Video zur Stelle im Video springen (00:12) Weil Äquivalenzumformungen nicht die Lösungsmenge verändern, kannst du sie benutzen, um Gleichungen zu lösen. Dafür musst du die Gleichungen äquivalent umformen, bis die Variable x allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht. Du löst die Gleichung deshalb nach x auf. Wenn du Gleichungen umformen musst, kannst du die vier Grundrechenarten verwenden: Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (•) und Division (:). Wichtig ist, dass du jeden Rechenschritt auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens durchführst. Möchtest du auf der linken Seite des Gleichheitszeichens +2 rechnen, musst du auch unbedingt auf der rechten Seite +2 rechnen. Das notierst du so: Den Strich | benutzt du, um anzugeben, was für einen Rechenschritt du durchführst. In den folgenden Beispielen siehst du nochmal genau, wie du jede Grundrechenart bei Äquivalenzumformungen benutzt. Beispiel 1: Addition und Subtraktion Du fängst mit den Grundrechenarten Addition und Subtraktion an.
Dann kannst du auch die Frage: "Was bedeutet äquivalent? " super beantworten. Aufgabe Löse die Gleichung durch Äquivalenzumformung und bestimme die Lösungsmenge. Lösung: hritt: Du addierst auf beiden Seiten mit 2. hritt: Du bringst x auf eine Seite. hritt: Du berechnest x, indem du durch 2 teilst. hritt: Gib die Lösungsmenge an. Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen Auch wenn du keine Gleichungen vor dir hast, kannst du Äquivalenzumformungen nutzen, um x zu finden. Die Vorgehensweise bleibt gleich. Achtung: Wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst, musst du die Richtung des Vergleichszeichens ändern! Schaue dir fürmehr Beispiele auch unser Video zu Ungleichungen an. Zum Video: Ungleichungen lösen Beliebte Inhalte aus dem Bereich Mathematische Grundlagen
$5 \cdot x + 6 = 16 | - 6$ $5 \cdot x = 10 |: 5$ $ x = 2 $ Am Ende der Aufgabe solltest du immer überprüfen, ob $x$ auch wirklich stimmt. Setze dazu einfach deine gefundene Zahl in die Ausgangsgleichung ein: $6 \cdot 2 + 6 - 2 \cdot 2 = 10 - x + 6$ $12 + 6 - 4 = 10 - 2 + 6$ $14 = 14$ Erhältst du, wie in diesem Beispiel, einen mathematisch korrekten Ausdruck, hast du richtig gerechnet. Merke Hier klicken zum Ausklappen Beim Lösen von Gleichungen, in denen die Variable mehrmals vorkommt, gelten folgende Arbeitsschritte: (1) Die Terme auf den beiden Seiten der Gleichung soweit wie möglich vereinfachen (zusammenfassen). (2) Die Variable durch Äquivalenzumformung auf eine Seite bringen. (3) Die Gleichung durch weitere Äquivalenzumformungen lösen. Nun hast du einen detaillierten Einblick darüber erhalten, wie man Gleichungen umformen und lösen kann. Um dein Wissen zu vertiefen, teste dich in unseren Übungen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
Wissenspfad Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen Gleichungen Eine Gleichung ist eine mathematische Schreibweise, die zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbindet. Bei Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen gilt es jene Werte der Variablen aus einer gegebenen Grundmenge zu bestimmen, für die die Lösung der Gleichung eine wahre Aussage wird. Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit Lineare Gleichung mit einer Variablen In einer linearen Gleichung mit einer Variablen kommt die einzige Variable lediglich zur ersten Potenz vor. Satz von Vieta Der Satz von Vieta erlaubt es quadratische Gleichungen die als Polynom, also als Summe oder Differenz, gegeben sind in ein Produkt umzurechnen Quadratischen Gleichung mit einer Variablen Eine allgemeine quadratische Gleichung in einer Variablen besteht aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Eine Lösung des Gleichungssystems liegt dann vor, wenn man jeder der n Variablen genau einen Zahlenwert zuordnen kann, sodass alle m Gleichungen zu wahren Aussagen werden.
Arten der Äquivalenzumformung Bei der Äquivalenzumformung musst du nicht immer addieren. Sie funktioniert bei allen vier Rechenoperationen. Schauen wir uns hierzu je ein Beispiel an: Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Addition Die Addition hast du bereits kennengelernt. Hier noch ein weiteres Beispiel: $x - 34 = 22$ | + 34 $x = 56$ Die Addition ist vor allem dann hilfreich, wenn die Variable $x$ in einer Subtraktion steht (Minusrechnung). Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Subtraktion $x + 3 = 7 |\textcolor{blue}{-3}$ $x + 3 \textcolor{blue}{-3} = 7 \textcolor{blue}{-3} $ $x + 0 = 4$ $x = 4$ Die Subtraktion ist vor allem dann hilfreich, wenn die Variable $x$ in einer Summe steht (Plusrechnung). Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Multiplikation $\frac{x}{3} = 5 |\textcolor{blue}{\cdot 3}$ $\frac{x\textcolor{blue}{\cdot 3}}{3} = 5 \textcolor{blue}{\cdot 3}$ $x \cdot \frac{\textcolor{blue}{3}}{3} = 15$ $x \cdot 1 = 15$ $x = 15$ Die Multiplikation ist vor allem dann hilfreich, wenn die Variable $x$ im Zähler eines Bruches oder allgemein in einer Division steht.
Aufgaben zu diesem Thema Aufgabe 67 Quadratische Gleichung mit einer Variablen Gegeben sei folgende quadratische Gleichung: \(a{x^2} + bx + c = 0;\, \, \, \, \, a{\text{, b}}{\text{, c}} \in {\Bbb R}\, \, \, \, \, a \ne 0\) Zeige an Hand des Beispiels a=4 und b=12 für den Spezialfall c=0, wie man Gleichungen vom Typ \(a{x^2} + bx = 0\) lösen kann. Aufgabe 1492 Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind Äquivalenzumformung Nicht jede Umformung einer Gleichung ist eine Äquivalenzumformung. \(\eqalign{ & {x^2} - 5x = 0\, \, \, \, \, \, \, \, \left| {:x} \right. \cr & x - 5 = 0 \cr} \) Aufgabenstellung: Erklären Sie konkret auf das oben angegebene Beispiel bezogen, warum es sich bei der durchgeführten Umformung um keine Äquivalenzumformung handelt! Die Grundmenge ist die Menge der reellen Zahlen.
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