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Permutation mit Wiederholung: Permutation ohne Wiederholung werden mittels Multinomialkoeffizienten berechnet. (n, k ∈ ℕ*) n = Anzahl von unterscheidbaren Objekten k 1, k 2,.. = Anzahl von jeweils identischen Objekten! = Fakultät In einer Urne befinden sich vier rote und drei grüne Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen? Anmerkung: rote Kugeln = 4! und grüne Kugeln = 3! 7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 4! * 3! 4 * 3 * 2 * 1 * 3 * 2 * 1 d. f. 7 * 5 = 35 Möglichkeiten A: Es gibt 35 Möglichkeiten die Kugeln anzuordnen.
Aber auch das folgende Beispiel fällt in diese Kategorie, auch wenn nicht auf den ersten Blick zu sehen ist, worin die Wiederholung besteht. Beispiel 2: Ein Skat-Spiel besteht aus 32 (unterscheidbaren) Karten. Nach dem Mischen erhalten die drei Spieler je 10 Karten und 2 Karten verbleiben im Skat. Wie viele unterschiedliche Kartenzusammensetzungen für ein Spiel gibt es? P=32! /(10! ·10! ·10! ·2! )= 2, 75·10 15 verschiedene Kartenkombinationen sind möglich, d. die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von zwei gleichen Spielen ist äußerst gering! Die Anwendung der Permutation mit Wiederholung ist im Beispiel 2 darauf zurückzuführen, dass es für das Spiel unbedeutend ist, in welcher Reihenfolge die jeweils 10 Karten der Spieler oder der 2 Karten des Skats gegeben wurden. Die Anzahl dieser Permutationen vermindert die Anzahl der Gesamtpermutationen. Beispiel 3: Wie viele mögliche Kartenverteilungen im Skat gibt es? P = 32! /(30! ·2! ) = 32·31/2 = 496
Für den zweiten gelben Apfel kommen nur noch 2 (3 – 1) Möglichkeiten in Betracht, da ja ein Platz durch den roten Apfel bereits belegt ist. Für den dritten Apfel ist es dagegen nur noch 1 (3 – 2) Möglichkeiten, da inzwischen durch die anderen beiden Äpfel zwei Plätze belegt sind. Nun kannst du den ersten roten Apfel nicht gleich auf den ersten Platz legen, sondern auf den zweiten und den zweiten roten Apfel auf den ersten Platz. So kannst die Äpfel in eine beliebige Reihenfolge bringen. Die Anzahl der möglichen Platzierungen (Permutationen) von diesen 3 Objekten kannst du auch berechnen. Dazu benötigst du die Fakultät einer Zahl, in diesem Fall die der Zahl 3. Die Fakultät wird durch ein Ausrufezeichen dargestellt und steht hinter der Zahl, beispielsweise 3!. Bei der Fakultät werden alle ganzen Zahlen zwischen der angegebenen Zahl und der Zahl 1 miteinander multipliziert. In deinem Beispiel lautet die Fakultät 3! = 3 · 2 · 1 = 6. Du hast bei diesen 3 Äpfel also 6 verschiedene Platzierungsmöglichkeiten bzw. Permutationen: Wie du jedoch sehen kannst, sind einige Reihen genau gleich, beispielsweise die erste und die dritte Reihe.
Autor:, Letzte Aktualisierung: 29. September 2021
Es gibt n 1 = 2 mal eine rote Kugel (R), n 2 = 1 mal eine Kugel mit der Farbe grün (G), sowie n 3 = 1 mal blau (B). Daher insgesamt n = n 1 + n 2 + n 3 = 2 + 1 + 1 = 4 Kugeln, die alle in einem 4-Tupel hingelegt werden sollen. Man erhält folglich: (R, R, G, B) (R, G, B, R) (R, R, B, G) (R, B, G, R) (G, R, R, B) (R, G, R, B) (B, R, R, G) (R, B, R, G) (G, B, R, R) (G, R, B, R) (B, G, R, R) (B, R, G, R) Die zwei roten Kugeln R sind also nicht von einander unterscheidbar. Würde man die beiden R noch mit einem kleinen Index 1 und 2 beschriften, so wären (R 1, R 2, G, B) und (R 2, R 1, G, B) dasselbe Ereignis. Deswegen wird nur kurz (R, R, G, B) geschrieben. - Hier klicken zum Ausklappen Aus den Zahlen 1, 1, 1, 4, 4, 5, 8, 8 lassen sich $\ {8! \over {3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 2! }} = {8! \over {6 \cdot 2 \cdot 2}} = 1680 $ verschiedene, achtstellige Zahlen bilden. Hier kommt es zum Beispiel auch nicht auf die Abfolge der Einsen und Vieren an, da gleich an welcher Stelle die einzelnen (künstlich unterscheidbaren) Ziffern stehen, die Zahl dieselbe ist.
$\Large{\frac{n! }{k! }~=~\frac{5! }{3! \cdot 2! }~=~\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1\cdot 2 \cdot 3) \cdot (1\cdot 2)}~=~\frac{120}{12}~=~10}$ Es gibt $10$ Möglichkeiten. Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Wie viele fünfstellige Ziffern gibt es, die dreimal die $3$ und zweimal die $4$ enthalten? $\Large{\frac{n! }{k! }~=~\frac{5! }{3! \cdot 2! }~=~\frac{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1\cdot 2 \cdot 3)\cdot (1\cdot 2)}~=~\frac{120}{12}~=~10}$ Es gibt $10$ Möglichkeiten. Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben! Viel Erfolg!
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