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Zusammenfassung In diesem Kapitel werden weit über 40 Aufgaben zu stetigen, gleichmäßig stetigen und Lipschitz-stetigen Funktionen sowie Eigenschaften dieser gestellt. Dabei gibt es einen Abschnitt mit vielen interessanten Anwendungsbereichen des Zwischenwertsatzes und des Nullstellensatzes von Bolzano. Author information Affiliations Halle (Saale), Deutschland Niklas Hebestreit Corresponding author Correspondence to Niklas Hebestreit. Aufgaben zu stetigkeit und. Copyright information © 2022 Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature About this chapter Cite this chapter Hebestreit, N. (2022). Stetigkeit. In: Übungsbuch Analysis I. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. Download citation DOI: Published: 13 May 2022 Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg Print ISBN: 978-3-662-64568-0 Online ISBN: 978-3-662-64569-7 eBook Packages: Life Science and Basic Disciplines (German Language)
Deine Funktion ist also wieder f(x)=0. Dein Grenzwert ist deshalb gleich 0. Der rechts- und linksseitige Grenzwert sind identisch. Es existiert ein beidseitiger Grenzwert mit dem Wert 0. Die zweite Bedingung ist also erfüllt. dingung: Sind Grenzwert und Funktionswert an der Stelle x 0 gleich? Wenn du x=0 in die Funktion f(x) einsetzt, erhältst du den Funktionswert. Dein beidseitiger Grenzwert ist allerdings gleich 0. Grenzwerte, Stetigkeit und Differenzierbarkeit (Thema) - lernen mit Serlo!. Die dritte Bedingung ist nicht erfüllt. f(x) ist an der Stelle x=0 also nicht stetig. 3. Beispiel Untersuche die Stetigkeit von Funktion g(x) an der Stelle x 0 =-1! Graph der Funktion g(x). g(x) ist eine ganzrationale Funktion. Deshalb gehören alle Zahlen, einschließlich x 0, zur Definitionsmenge. Die erste Bedingung ist erfüllt. dingung: Besitzt g(x) einen beidseitigen Grenzwert an der Stelle x 0? Fange wieder mit dem rechtsseitigen Grenzwert an: Wenn du dich der Stelle x=-1 von größeren Zahlen näherst, geht die Parabel g(x)=x 2 gegen +1. Analog geht der linksseitige Limes gegen +1, wenn du dich der Stelle x=-1 von kleineren Zahlen näherst.
1. Beispiel Ist f(x) an der Stelle x 0 =2 stetig? f(x) ist an der Stelle x=2 0. Alle x-Werte kleiner als 2 haben den Funktionswert -1. Alle x-Werte größer als 2 haben den Funktionswert 1. dingung: Ist die Stelle x 0 Teil der Definitionsmenge? f(x) ist für x=2 definiert. Die Stelle x 0 =2 ist also Teil der Definitionsmenge. f(x) erfüllt an der Stelle x=2 die erste Bedingung. Bespielaufgaben Stetigkeit. dingung: Besitzt f(x) einen beidseitigen Grenzwert an der Stelle x 0? Der beidseitige Grenzwert existiert, wenn der rechts- und linksseitige Grenzwert identisch sind. Bestimme also den rechtsseitigen Grenzwert, um die Stetigkeit zeigen zu können! Weil du dich der Stelle 2 von größeren Zahlen näherst, sind alle Zahlen, die du in deinen Limes einsetzt, größer als 2. Deine Funktion ist für diese Zahlen also immer 1. Deshalb ist auch dein Grenzwert gleich 1. Analog rechnest du den linksseitigen Grenzwert aus: Weil du dich der Stelle 2 von kleineren Zahlen näherst, sind alle Zahlen, die du in deinen Limes einsetzt, kleiner als 2.
Lösung (Maximum und Minimum einer Funktion) Beweisschritt: besitzt Maximum Zunächst ist stetig auf als rationale Funktion mit positivem Nenner. Weiter gilt für,, sowie Daher gibt es ein mit für alle. Nach dem Satz vom Maximum und Minimum nimmt auf ein Maximum an. Dieses ist mit dem Gezeigten sogar global. Beweisschritt: besitzt kein Minimum Es gilt auf. Die Null wird als Funktionswert nicht angenommen. Wegen und der Stetigkeit besitzt die Funktion kein Minimum. Aufgabe (Häufigkeit von Funktionswerten 1) Zeige, dass es keine stetige Funktion gibt, die jeden ihrer Funktionswerte genau zweimal annimmt. Stetigkeit von Funktionen | Mathebibel. Gibt es eine stetige Funktion die jeden ihrer Funktionswerte genau dreimal annimmt? Aufgabe (Häufigkeit von Funktionswerten 2) Sei mit. Zeige: Es keine stetige Funktion gibt, die jeden ihrer Funktionswerte genau Mal annimmt. Zwischenwertsatz und Nullstellensatz [ Bearbeiten] Aufgabe (Nullstelle einer Funktion) Zeige, dass die Funktion im Intervall genau eine Nullstelle hat. Lösung (Nullstelle einer Funktion) Beweisschritt: hat mindestens eine Nullstelle ist stetig als Komposition der stetigen Funktionen und.
Also ist die Aussage erfüllt mit. Fall 2: Wir behandeln nur den Fall. Der Fall geht ganz analog. Aus folgt. Nach dem Nullstellensatz gibt es daher ein mit Dies ist aber äquivalent zu. Also gilt die Behauptung. Aufgabe (Nachweis einer Nullstelle) Sei eine natürliche Zahl. Definiere die Funktion. Zeige, dass die Funktion genau eine positive Nullstelle hat. Lösung (Nachweis einer Nullstelle) Zeigen müssen wir hier zwei Dinge: Zuerst müssen wir beweisen, dass überhaupt eine positive Nullstelle existiert, also eine Nullstelle im Intervall. Als zweites ist zu zeigen, dass es nur eine solche Nullstelle gibt. Die Funktion ist eine Polynomfunktion und damit stetig. Aufgaben zu stetigkeit en. Es gilt, bei liegt der Funktionswert also unterhalb der -Achse. Außerdem hat man, also verläuft der Graph für "große" Werte für auf jeden Fall oberhalb der -Achse. Da stetig ist, lässt sich nun der Zwischenwertsatz anwenden, dieser liefert die Existenz zumindest einer solchen Nullstelle. Nun müssen wir noch zeigen, dass es nur eine Nullstelle gibt.
Schau dir das am besten an einem Beispiel an. Ist die Funktion f(x)=x 2 +1 an der Stelle x 0 =3 stetig? Um das zu lösen, suchst du für ein beliebiges ein spezielles, sodass die Bedingung oben für alle x in dieser Deltaumgebung von x 0 =3 erfüllt ist. Sei. Dann kannst du abschätzen: Dieses Produkt, das du mit der dritten binomischen Formel aufgestellt hast, kannst du jetzt mit abschätzen. Aufgaben zu stetigkeit online. Dieses hast du zu diesem Zeitpunkt aber noch nicht konkret bestimmt, du weißt nur, dass gilt:. Ziehe die +6 aus den Betragsstrichen heraus, damit du wieder mit abschätzen kannst. Aber aufgepasst: Das ist keine Äquivalenzumformung, sondern eine Dreiecksungleichung. Du musst also ein Kleiner-Gleich-Zeichen benutzen! Jetzt weißt du also, dass ein dem Epsilon-Delta-Kriterium genügt und die folgende Bedingung erfüllt: Denn dann würde ja gelten: Allerdings hast du erst einen Ausdruck für. Bilde als nächstes die Umkehrfunktion mit der pq-Formel, um zu bestimmen. Da sein muss, setzt du also. Damit hast du ein passendes gefunden.