Eigenschaften Der Zahl 57

d muß also auch ein gemeinsamer Teiler von 57 und 0 sein. Welches ist aber der größte gemeinsame Teiler von 57 und 0 - natürlich 57. Also ist rückwärts geschlossen 57 auch der größte gemeinsame Teiler von 969 und 627. Es gilt also ggT(a, b)=ggT(a-b, b). Wenden wir auf den Ausdruck rechts dieselbe Regel an, so ergibt sich ggT(a-b, b)=ggT((a-b)-b), b)=ggT(((a-b)-b)-b, b)=... =ggT(r, b), wobei r der Rest von a bei Division durch b ist (a=k × b+r mit 0 £ r

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Hinweis: 2 3 = 2 × 2 × 2 = 8. 2 heißt Basis und 3 ist Exponent. Der Exponent zeigt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. 2 3 ist die Potenz und 8 ist der Wert der Potenz. Wir sagen: 2 hoch 3. Zum Beispiel ist 12 ein Teiler von 120 – der Rest ist Null, wenn 120 durch 12 geteilt wird. Schauen wir uns die Primfaktorzerlegung beider Zahlen an und beachten Sie die Basen und die Exponenten, die bei der Primfaktorzerlegung beider Zahlen vorkommen: 12 = 2 × 2 × 3 = 2 2 × 3 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2 3 × 3 × 5 120 enthält alle Primfaktoren von 12, und alle Exponenten ihrer Basen sind höher als die von 12. Wenn "t" ein gemeinsamer Teiler von "a" und "b" ist, dann enthält die Primfaktorzerlegung von "t" nur die gemeinsamen Primfaktoren, die an den Primfaktorzerlegungen von "a" und "b" beteiligt sind. Wenn Exponenten beteiligt sind, ist der maximale Wert eines Exponenten für jede Basis einer Potenz, die in der Primfaktorzerlegung von "t" vorkommt, höchstens gleich dem Minimum der Exponenten derselben Basis, die in der Primfaktorzerlegung von auftritt Zahlen "a" und "b".

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Der GCF von 20 und 24 ist 4. Um den GCF (Greatest Common Factor) von 20 und 24 zu berechnen, müssen wir jede Zahl faktorisieren (Faktoren von 20 = 1, 2, 4, 5, 10, 20; Faktoren von 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24) und wähle den größten Faktor, der sowohl 20 als auch 24 genau teilt, also 4. Ebenso: Was ist der größte gemeinsame Teiler von 76 und 57? Wie Sie sehen können, wenn Sie die Faktoren jeder Zahl auflisten, 19 ist die größte Zahl, in die sich 57 und 76 teilen. Wie findet man den größten gemeinsamen Nenner? Um den GCF einer Reihe von Zahlen zu finden, Liste alle Faktoren jeder Zahl auf. Der größte Faktor, der auf jeder Liste erscheint, ist der GCF. Um zum Beispiel den GCF von 6 und 15 zu finden, listen Sie zuerst alle Faktoren jeder Zahl auf. Da 3 der größte Faktor ist, der auf beiden Listen erscheint, ist 3 der GCF von 6 und 15. Was ist der größte gemeinsame Teiler von 12 und 24? Antwort: GCF von 12 und 24 ist 12. Zweitens: Was ist der größte gemeinsame Teiler von 24 und 54? Der GCF von 24 und 54 ist 6.

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Um den größten gemeinsamen Faktor (GCF) von 24 und 54 zu berechnen, müssen wir jede Zahl faktorisieren (Faktoren von 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; Faktoren von 54 = 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54) und wähle den größten Faktor, der sowohl 24 als auch 54 genau teilt, also 6. Was ist der größte gemeinsame Teiler von 76 und 57 und 95? Wie Sie sehen können, wenn Sie die Faktoren jeder Zahl auflisten, 19 ist die größte Zahl, in die sich 57, 76, 95 und 57 teilen lässt. dann Was ist der größte gemeinsame Teiler von 84 und 90? Antwort: GCF von 84 und 90 ist 6. Was ist der größte gemeinsame Teiler von 54 und 63? Antwort: GCF von 63 und 54 ist 9. Was sind die gemeinsamen Faktoren von 24? Die Faktoren von 24 sind 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Was ist der größte gemeinsame Teiler von 16 und 24? Der GCF von 16 und 24 ist 8. Um den GCF (Greatest Common Factor) von 16 und 24 zu berechnen, müssen wir jede Zahl faktorisieren (Faktoren von 16 = 1, 2, 4, 8, 16; Faktoren von 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24) und wähle den größten Faktor, der sowohl 16 als auch 24 genau teilt, also 8.

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Zum Beispiel ist 12 der gemeinsame Teiler von 48 und 360. Der Rest ist Null, wenn entweder 48 durch 12 oder 360 durch 12 dividiert wird. Hier sind die Primfaktorzerlegungen der drei Zahlen 12, 48 und 360: 12 = 2 2 × 3 48 = 2 4 × 3 360 = 2 3 × 3 2 × 5 Bitte beachten Sie, dass 48 und 360 mehr Teiler haben: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Unter ihnen ist 24 der größte gemeinsame Teiler, ggT, von 48 und 360. Der größte gemeinsame Teiler, ggT, zweier Zahlen, "a" und "b", ist das Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren, die an der Primfaktorzerlegung von "a" und "b" durch die niedrigsten Potenzen beteiligt sind. Basierend auf dieser Regel wird der größte gemeinsame Teiler, ggT, mehrerer Zahlen berechnet, wie im Beispiel unten gezeigt... ggT (1. 260; 3. 024; 5. 544) =? 1. 260 = 2 2 × 3 2 3. 024 = 2 4 × 3 2 × 7 5. 544 = 2 3 × 3 2 × 7 × 11 Die gemeinsamen Primfaktoren sind: 2 - sein niedrigster Exponent ist: min. (2; 3; 4) = 2 3 - sein niedrigster Exponent ist: min. (2; 2; 2) = 2 ggT (1. 544) = 2 2 × 3 2 = 252 Teilerfremde Zahlen: Wenn zwei Zahlen "a" und "b" keine anderen gemeinsamen Teiler als 1 haben, ggT (a; b) = 1, dann heißen die Zahlen "a" und "b" teilerfremd.

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342+285 627= 0·969+1·627 342= 1·285+57 342= 1·969- 1·627 285= 5·57+0 285=-1·969+2·627 57=2·969- 3·627 Damit haben wir zwei Zahlen k und l gefunden mit k × 969+l × 627=ggT(969, 627). Als weiteres Beispiel führen wir das zweite von oben an: 130900= 1·130900+0·33957 33957= 0·130900+1·33957 ï ·3 29029= 1·130900- 3·33957 4928=-1·130900+4 ·33957 ï ·5 4389= 6·130900-23·33957 539=-7· 130900+27·33957 ï ·8 77=62·130900-239·33957 Der nächste Schritt führt auf 0=.........., also ist der EA beendet. Wir haben also die Zahlen k=62 und l=-239 gefunden, mit denen gilt k·130900+l· 33957=ggT(130900, 33957)=77 Eine Formalisierung dieses Verfahrens ist unter dem Namen Berlekamp-Algorithmus (BA) bekannt. Wir definieren vier Folgen a n, x n, y n und q n nach folgendem Schema ([r] bedeutet im Folgenden die sogenannte Gaußklammer, also den ganzzahligen Anteil von r): a 1 =a x 1 =1 y 1 =0 q 1 =0< a 2 =b x 2 =0 y 2 =1 q 2 =[a 1 /a 2] a 3 =a 1 -q 2 ·a 2 x 3 =x 1 -q 2 ·x 2 y 3 =y 1 -q 2 y 2 q 3 =[a 2 /a 3]............................................ a i+1 =a i-1 -q i ·a i x i+1 =x i-1 -q i ·x i y i+1 =y i-1 -q i ·y i q i+1 =[a i /a i+1] für i>2 bis a k ¹ 0 und a k+1 =0.

Vergleiche dies mal bei den folgenden Aufgaben AUFGABE 2. 6 Berechne den ggT der folgenden Zahlen mit dem EA: a) 3059; 646 b) 4081; 2585 c) 2112; 836 d) 1597; 987 Mit dem nebenstehenden Button kannst Du ein Übungsprogramm zur Bestimmung des ggT starten. Ein für uns sehr wichtiges Ergebnis liefert der folgende Satz 2. 1. Vorher wollen wir aber noch eine Bezeichnung einführen, die der Vektoralgebra entlehnt ist: Sind x und y zwei Zahlen oder Variable, so heißt rx+sy eine " Linearkombination " von x und y. SATZ 2. 1 (Lemma von Bachet) Ist d=ggT(a, b), so gibt es k, l Î Z mit ka+lb=d. Beweis: Zum Beweis benutzen wir: Sind sa+tb=c und ua+vb=d zwei Linearkombinationen von a und b, so ist auch die Summe c+d=(s+u)a+(t+v)b wieder eine Linearkombination von a und b. Beginnen wir nun mit a=1 × a+0 × b und b=0 × a+1 × b und wenden auf die linke Seite den EA an, so endet dieser mit dem ggT(a, b), während rechts eine Linearkombination von a und b steht. Wir demonstrieren dies am ersten Beispiel: Euklid Berlekamp 969= 1·627+342 969= 1·969+0·627 627= 1.