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Der Fall lässt sich mit einbeziehen und liefert. Das Teilverhältnis kann jede reelle Zahl außer −1 annehmen (s. u. ). Das Wort "teilt" darf man nach der Ausdehnung auf beliebige Punkte nicht zu wörtlich nehmen, denn nur, wenn zwischen liegt, teilt die Strecke. Mittelpunkt einer strecke mit vektoren. Es gilt: Man beachte, dass eine Vertauschung von das Teilverhältnis verändert (invertiert), außer im Fall, dass der Mittelpunkt der Strecke ist. Berechnung des Teilverhältnisses bzw. des Teilpunktes Vektoren zur Berechnung des Teilverhältnisses Teilverhältnis in Abhängigkeit vom Parameter t: Der Punkt der Geraden durch die Punkte lässt sich durch Aus ergibt sich die Gleichung und schließlich. Löst man die letzte Gleichung nach t auf, so erhält man Für ist der Mittelpunkt der Strecke. Bemerkung: Falls die Punkte durch ihre Parameter bezüglich einer Parameterdarstellung der zugrunde liegenden Gerade gegeben sind, ergibt sich für ihr Teilverhältnis Zeichnerisches Ermitteln des Teilpunkts Teilung von A, B im Verhältnis (T, innen) bzw. (S, außen) Um den Teilpunkt zu finden, verwendet man eine Konstruktion nach dem zweiten Strahlensatz: Soll die Strecke [AB] im Verhältnis m:n geteilt werden, so zeichnet man durch A und durch B zwei parallele Geraden.
Koordinatendarstellung eines Punktes oder Ortsvektor des Punktes: Verbindungsvektor zweier Punkte: Mittelpunkt der Strecke (als Ortsvektor): Teilungspunkt: Der Punkt, der die Strecke im Verhältnis teilt: Schwerpunkt eines Dreiecks: Geraden [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Parametergleichung der Geraden (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt mit dem Richtungsvektor: Der Parameter kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und darf nicht der Nullvektor sein. Parametergleichung der Geraden (Zwei-Punkte-Form) durch die Punkte: Der Parameter kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und. Vektorrechnung: Mittelpunkt der Strecke AB bestimmen - YouTube. und müssen verschieden sein. Normalengleichung der Geraden durch den Punkt mit dem Normalenvektor in vektorieller Schreibweise: bzw. Koordinatengleichung, explizite Form der Geraden mit der Steigung durch den Punkt der -Achse: Einschränkung: Die Gerade darf nicht parallel zur -Achse sein. Koordinatengleichung, Achsenabschnittsform der Geraden durch die Punkte (auf der -Achse) und (auf der -Achse): Einschränkung: Die gegebenen Punkte dürfen nicht mit dem Ursprung übereinstimmen, d. h. es muss und gelten.
Normalengleichung der Ebene durch den Punkt mit dem Normalenvektor in vektorieller Schreibweise: Koordinatengleichung mit nicht alle gleich 0. Überführen der Formen ineinander Parameterform in Normalenform: Normalenform und Koordinatengleichung: Die Normalenform ist dasselbe wie die Koordinatengleichung, nur ein wenig anders aufgeschrieben. Explizit: und. Von der Parameterform zur Koordinatengleichung: definiert drei Gleichungen; man löse eine davon nach und eine andere nach auf und setze dies in die verbleibende Gleichung ein. Nie wieder Probleme mit der Vektorrechnung ✎ HIER!. Von der Koordinatengleichung zur Parameterform: Entweder findet man durch Ausprobieren drei nicht-kollineare Punkte in der Ebene und setzt diese in die Drei-Punkte-Form der Parametergleichung ein. Alternativ funktioniert auch folgender algorithmischer Ansatz: Da nicht alle gleich 0 sind (sagen wir), lässt sich die Koordinatengleichung nach einer Koordinate auflösen und diese Koordinate ist also eine Funktion der beiden anderen:. Man findet nun drei nicht-kollineare Punkte in der Ebene, indem man nacheinander, und einsetzt.
Definition des Teilverhältnisses und Spezialfälle Unter dem Teilverhältnis versteht man in der Geometrie im einfachsten Fall das Verhältnis zweier Teilstrecken einer gegebenen Strecke. Wird z. B. die Strecke durch einen Punkt in zwei Teilstrecken und geteilt (s. erstes Beispiel), so ist die Zahl das zugehörige Teilverhältnis. Man könnte allerdings auch den Kehrwert, der durch Vertauschen von entsteht, als Teilverhältnis erklären. Formelsammlung analytische Geometrie – Wikipedia. Beim Umgang mit Teilverhältnissen ist also unbedingt auf die Bezeichnung der Punkte zu achten. Die große Bedeutung erhält das Teilverhältnis durch die Verallgemeinerung auf beliebige Teilpunkte auf der Geraden durch. Die große Bedeutung des Teilverhältnisses liegt in seiner Invarianz unter affinen Abbildungen (lineare Abbildungen und Translationen) und Parallelprojektionen. Bei projektiven Abbildungen und Zentralprojektionen bleibt das Teilverhältnis im Allgemeinen nicht invariant, aber das sogenannte Doppelverhältnis. In der Literatur findet man die folgende Definition für drei Punkte in der euklidischen Ebene: Für drei verschiedene kollineare Punkte nennt man die Zahl mit der Eigenschaft das Teilverhältnis, in dem der Punkt das Punktepaar teilt, und bezeichnet sie mit oder.